●フェルマー自身の証明（n=4）（1640年）

フェルマーは、最終定理について「この真に驚くべき証明を私は得たのだが、それを書くには、この余白は狭すぎる」と書いている。
彼はどんな証明を考えていたのか・・・。
フェルマーはメルセンヌにあてた手紙の中で、証明に言及している。

Ｘ²＋Ｙ²＝□　Ｘ²−Ｙ²＝□　　　　（式1）
式1を掛合わせて　　Ｘ⁴−Ｙ⁴＝Ｚ²　　(式2）
式2に自然数解Ｘ1,Ｙ1,Ｚ1があると仮定すると、ピタゴラスの定理を使って
式1の２連方程式に別の自然数解Ｘ2,Ｙ2,Ｚ2（Ｘ1＞Ｘ2）が存在することになる。
この操作を続けるとＸ1＞Ｘ2＞Ｘ3＞・・・・
となり、無限に続く減少列があることになり、矛盾する。

この方法を使って､n=4の場合は証明できる。
　　Ｘ⁴＋Ｙ⁴＝Ｚ⁴　→　Ｚ⁴−Ｙ⁴＝(Ｘ²)²
このフェルマーの証明方法を無限降下法という。（参照1：p84）

●オイラーの証明（n=3）（1753-1770年）

スイス生まれのレオン・ハルト・オイラーは１８世紀最大の数学者で、数学のあらゆる分野で業績がある。数論の分野は1730年頃から研究をはじめている。
最終定理に関しては、n=3の場合を虚数を使って証明した。（1753-1770年）

オイラーの証明した「フェルマーの小定理」は
「自然数pが素数であり、pとaが互いに素であるとき、ａ^p−ａはpで割り切れる」
というもの。
さらに、最終定理の関する大きな功績としてはゼータ関数を生み出したこと。
ゼータ関数：ζ(s)＝1/1^s+1/2^s+1/3^s+・・・・・・ 　　　（ sは自然数）
　　　　　　ζ(２)＝1/6＊π²
　　　　　　ζ(４)＝1/90＊π⁴
　　　　　　ζ(６)＝1/945＊π⁶
　　　　　　ζ(８)＝1/9450＊π⁸
　　　　　　ζ(10)＝1/467775＊π¹⁰

フェルマーやオイラーの証明はいずれも無限降下法であるため、nが４の倍数、nが合成数の場合はその素にあたる素数の証明があれば、自動的に合成数の証明がなされる。（参照２：p61-71）
あと証明が必要なのは「nが素数」だけ！

●ディリクレとルジャンドルの証明（n=5）（1825年）

ディレクレは縁故を頼ってパリに行き、21才のとき「５次不定方程式の不可能について」という論文をパリ学士院に提出。これは最終定理n=5の場合の証明であった。
この証明には不充分なところがあって、整数論の大家ルジャンドルがその証明を補って、n=5の場合を解決。
ディレクレの論文は評判になり、幸運にも1827年ドイツで大学講師、1831年ベルリン大学に移る。
また、ディレクレはゼータ関数の1種であるＬ関数を使って素数定理を証明した。

●ソフィ・ジェルマンの証明（1823年）

フランスの富裕な家庭に生まれたソフィは、ドイツの大数学者ガウスの「整数論」を読み数論の魅力にひかれ、独自に研究を開始する。ついに研究結果をルブランという男性名で書簡にし、ガウスに送るようになった。書簡をみたガウスはその研究成果に驚き、絶賛した。やがてルブラン氏はガウスに正体を知られてしまうが、ガウスは彼女の才能と努力に賞賛の言葉を送っている。

1823年、最終定理Ｘ^p＋Ｙ^p＝Ｚ^p　　「奇素数pが、2p+1も素数である場合、最終定理は<場合1>のとき正しい」を証明する。
<場合1> xyz≡/0(mod p) つまりx,y,zのいずれもpで割り切れない場合
<場合2> xyz≡ 0(mod p) つまりx,y,zのいずれかがpで割り切れる場合

ガウスは彼女の研究を認め、ゲッチンゲン大学教授会に名誉博士号を送るように勧告したが、学位を受ける前にソフィはパリで没している。（参照２：p89）

彼女の研究成果が公にされる日は遅くなり、ルジャンドルによって学士院に提出される。
後に、ソフィの証明はルジャンドルによって拡張され、n=197より小さい素数の場合は証明される。

●ディレクレはn=14の場合を証明。（1832年）


●ラメはn=7の場合を証明（1839年）。

n=7の場合はラメによって証明された。

1847年3月、パリ学士院の集会でラメは最終定理の一般的証明に成功したと、宣言した。 彼の証明は複素数を使って、素因数の積に分解するものだった。
しかし、その証明には乗り越えがたい困難「素因数分解の一意性」があることをリュービル氏が指摘する。

個々のn（指数）に対する攻略するのも、そろそろおしまい。

▼参考文献

1. 足立恒雄著「フェルマーの大定理が解けた」1995、講談社
   
2. 富永裕久著（山口周監修）「フェルマーの最終定理に挑戦」1996、ナツメ社
   
3. A・D・アクゼル著（吉永良正訳）「天才数学者たちが挑んだ最大の難問」1996（1999訳）、早川書房
   
4. E・T・ベル著（田中勇・銀林浩訳）「数学をつくった人びと」1937（1997訳）、東京図書
   

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