数の世界


1997/7/27作製
1998/11/03更新
円周率（π） Story of pai

円周率の計算

円周率はπという記号で表現しますが、
π＝3.14159265358979323846・・・
と無限に続き、分数のように循環もしません。
このような数を無理数と呼んでいます。


●アルキメデスの方法
古代ギリシアの数学者アルキメデスは、BC287年頃シシリー島シラクサで生まれた。当時学問の中心であったエジプトのアレクサンドリアに留学し、その後はシラクサで過ごしました。第２ポエニ戦争でシラクサが負けて、ローマ兵に殺され７５年の生涯を閉じたと伝えられる。

アルキメデスが求めた円周率は、円に外接する多角形と内接する多角形から円周の近似長さを計算しました。まず直径Ｌの円に内・外接する正６角形から計算すれば、
内接正６角形の外周：1/2*Ｌ*6＝３Ｌ
外接正６角形の外周：1/2(√3)Ｌ*6＝２√３xL
となり円周率は　　　３＜π＜２√３
次に、多角形の角数を１２，２４，４８と増やし最後に正９６角形で計算し

　　　３＋10/71＜π＜３＋1/7 （つまりπ≒３．１４）

と求めました。


円周率計算の歴史(１)
人名(発見者) 年代 計算手段 計算精度
アルキメデス BC3世紀 多角形の近似値(96角) 3+10/71＜π＜3+1/7
劉徽（りゅうき） 3世紀 多角形の近似値(1536角) π≒3.1416
祖沖之（そちゅうし） 5世紀 不明 3.1415926＜π＜3.1415927
アリヤバッタ 6世紀 多角形の近似値(384?) π≒3.14156
フィボナッチ 12世紀 多角形の近似値(96角) π≒3.1418・・・
ヴィエート 1593年 公式　2/π＝√1/2ｘ√(1/2+1/2(√1/2))x・・・ 小数点以下９桁
ルドルフ 1621年 多角形の近似値(２^62角) 小数点以下３５桁

参考文献：野崎昭弘著「πの話」、1974、岩波書店


●ルドルフ(1539〜1610年)
円周率を円に内・外接する正多角形から計算したなかで、最も精度を高めたのはドイツのルドルフでした。1596年に２０桁まで計算し、その後も生涯πの計算に情熱を注ぎました。彼の死後、1621年小数点以下３５桁まで求めたπの計算値が出版されました。 ドイツではπのことを彼の名をとって「ルドルフ数」と呼んでいます。


●ヴィエート(1540〜1603年)
円に内・外接する正多角形の計算をしていく過程で、πを表す公式をはじめて見つけだしたのがフランスのヴィエートでした。正多角形の角数を増やしていくとき、その周の長さの増え方に規則性があることに気づいたのです。

　　2/π＝√1/2ｘ√(1/2+1/2(√1/2))x・・・



●無限級数による計算
１７世紀になってニュートンやライプニッツにより微分積分が発明されました。πを無限級数を使ってはじめて計算したのがニュートンでした。

●電子計算機による計算
世界で最初の電子計算機は1946年ペンシルバニア大学のエッカートとモークリーの研究チームによって作られ、ENIACと名づけられました。1949年、この電子計算機ENIACを使ってπの計算をしたのが、アメリカのリトワイズナーらで2037桁まで計算しました。

円周率計算の歴史(２)
人名(発見者) 年代 計算手段 計算精度
ニュートン 1665年 公式　π＝(3√3)/4＋24((1/3*2^2)-(1/5*2^5)-・・・) 小数点以下１６桁
シャープ 1699年 公式　π/6＝arctan(1／√3) 小数点以下７１桁
ベガ 1794年 無限級数 小数点以下136桁
シャンクス 1874年 無限級数 小数点以下527桁(計算707桁)
ファーガソン 1947年 卓上計算機 小数点以下710桁
リトワイズナー他 1949年 電子計算機 ENIAC 小数点以下2037桁

参考文献：金田康正著「πのはなし」1991、東京図書

●計算記録の飛躍
これ以後、電子計算機の発展にともなってπ計算の精度は飛躍的に向上して、1990年頃には小数点以下１０億桁を越え、1995年に６４億桁を記録しています。
1997年になって記録は大きく更新されました。東大大型計算機センターの金田教授と高橋助手のチームは、同センターの超並列スーパーコンピューターを使って５１５億桁を達成した。計算時間は６月の最初の計算で約２９時間、７月の検証の計算で約３７時間。（福井新聞7/26）

▼参考文献

  • 伊達文治著「アルキメデスの数学」1993、森北出版
  • 金田康正著「πのはなし」1991、東京図書
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